UD 2
A lóxica e a linguaxe
I
A lóxica aristotélica
1.1. A “arte da lóxica”.
Na antiga Grecia, arte (tekné1, do grego antigo τέχνη) é calquera saber produtivo (técnico), calquera saber que nos ensina a producir ou fabricar algo (unha mesa no caso da carpinte-ría, a saúde no caso da medicina ou os discursos fermosos e persuasivos no caso da oratoria).
Non podemos confundir a noción grega de arte coa noción moderna de tal termo. Dende o século XVIII, as artes son as “belas artes”: a arquitectura, a pintura, a escultura, a literatura, a música, a danza, o teatro e, dende o século XX, tamén o cine e a fotografía. Na antiga Grecia, as artes máis importantes eran as que chamaban “artes liberais”, as propias das persoas libres que gozaban do status de cidadáns na polis (un número moi reducido en comparación ó número de mulleres, escravos e estranxeiros), das cales a máis importante era a retórica ou oratoria (a arte de saber falar persuasivamente, producir discursos convincentes e saber argumentar as propias opi-nións) e a lóxica (a arte de saber razoar). En liñas moi xerais, poderiamos dicir que a primeira é o que hoxe en día cae dentro do que chamamos lóxica informal e a segunda a que identificamos co-mo lóxica formal.
Hai que aclarar que dende o século XX a lóxica xa non se considera unha arte, senón unha ciencia. A lóxica comeza a tomar forma de ciencia dende a época de Aristóteles (384 – 322 a. C.), xa que este foi o primeiro en estudar, dende un punto de vista puramente teórico, o razoamento demostrativo. Polo tanto, considérase que Aristóteles é o pai ou inventor da ciencia lóxica: dende Aristóteles, a lóxica deixa de ser simplemente unha arte para asembleístas (líderes políticos) e avogados para converterse nunha verdadeira ciencia. Durante máis de dous milenios, ata finais do século XIX, a ciencia lóxica tal e como foi concibida por Aristóteles practicamente non cambiou. Para este, a lóxica era o estudo do siloxismo.
1.2. O siloxismo aristotélico.
Como acabamos de especificar, a lóxica aristotélica estivo vixente ata finais do século XIX, polo que é obrigado observar en que maneira o pensamento medieval (e tamén os demais períodos históricos, mais este é o principal) contribuíu ó seu desenvolvemento.
1.2.1. Os estudos de Aristóteles sobre lóxica.
Os escritos lóxicos de Aristóteles debemos entendelos como meros apuntamentos para ensinar ó alumnado da súa escola, o Liceo. Eran recompilados e ordenados, e encargábanse varias copias manuscritas do texto orixinal que posteriormente se distribuían a diversos puntos da Hélade2 e da costa mediterránea en xeral. O último escolarca do Liceo (o director de dita escola, pode entenderse coma “sucesor de Aristóteles”), Andrónico de Rodas (que viviu aproximadamente dous séculos despois de Aristóteles), organizou estes escritos en cinco libros (Categorías, Temas, Refuta-cións sofísticas, Sobre a interpretación, Primeiro e segundo analítico) que foron coñecidos no Me-dievo co nome de Organum. “Organum” significa instrumento ou ferramenta en latín, e foi chama-do así porque a comunidade de estudosos medievais (antes da aparición do método científico) esta-ba convencida de que a siloxística aristotélica era a ferramenta do pensamento, o mellor (e, en reali-dade, o único) método para adquirir novos coñecementos. En conclusión, podemos entender a pala-bra Organum como simplemente método.
Aristóteles nos seus escritos lóxicos estudou a linguaxe apofántica. A apófansis (ἀπόφανσις, substantivo derivado de ἀποφαίνω, “mostrar”)3 refire á linguaxe no seu uso descritivo: a linguaxe que serve para coñecer, e describir, a realidade. Coñecendo o significado de logos (lin-guaxe), podemos entender que o estudo da linguaxe (en concreto da linguaxe apofántica ou descri-tiva) fose denominado lóxica.
1.2.1.1. A estrutura do siloxismo.
A lóxica aristotélica céntrase no estudo do razoamento dedutivo, no que dadas certas cousas (premisas) necesariamente se derivan outras (conclusión). Isto foi o que Aristóteles deno-minou siloxismo. Todo siloxismo é un argumento (unha cadea de oracións na que a última oración, ou conclusión, apóiase nas, ou máis ben extráese das, oracións anteriores, ou premisas) que ten a seguinte estrutura: primeira premisa (ou premisa maior), segunda premisa (ou premisa menor) e conclusión. Un dos exemplos máis claros de siloxismo é o siloxismo Barbara (nome que lle foi dado no Medievo):
Premisa maior – Todos os seres humanos son mortais
Premisa menor – Sócrates é un ser humano
Conclusión – Sócrates é mortal
1.2.1.2. A proposición.
Nas premisas e na conclusión aparecen proposicións. Unha proposición é o significado dunha oración enunciativa (unha oración que afirma ou nega algo que acontece no mundo). Non todas as oracións son proposicións: dar unha orde, facer unha petición ou formular unha pregunta (por exemplo) non son accións que den lugar proposicións porque non afirman nada sobre o mundo (só ordenan, piden ou preguntan algo).
Sabido isto, podemos dicir xa que na proposición da conclusión atopamos dous termos que se van relacionar: o suxeito (S) e o predicado (P) da conclusión: Sócrates (suxeito, S) é mortal (predicado, P). Nas premisas tamén aparecen estes dous termos (S e P) e un novo termo que os une, que denominamos “termo medio” (M). En todo siloxismo, polo tanto, hai tres termos, e na conclusión, conseguimos conectar dous deles (suxeito e predicado) grazas ó termo medio que serve de enlace (precisamente por ter esta función, enlazar, o termo medio nunca aparece na conclusión):
Premisa maior – Todos os seres humanos son mortais
M P
Premisa menor – Sócrates é un ser humano
S M
Conclusión – Sócrates é mortal
S P
Todas as proposicións poden ser clasificadas, se atendemos a un criterio cuantitativo (dependendo da súa cantidade ou extensión), do seguinte xeito: proposicións universais (por exemplo, “Todos os seres humanos son mortais”) e proposicións particulares (por exemplo, “Algúns seres humanos teñen o cabelo negro”).
Se atendemos a un criterio cualitativo (dependendo da calidade ou relación entre os seus termos), todas as proposicións poden clasificarse do seguinte xeito: proposicións afirmativas (por exemplo, “Algúns seres humanos teñen o cabelo negro”) e proposicións negativas (por exemplo, “Algúns seres humanos non teñen o cabelo negro”).
1.2.2. A lóxica aristotélica no Medievo.
Se combinamos estes dous criterios de clasificación (cantidade e calidade), atopamos que hai catro tipos de proposicións (ou xuízos), os cales pasan a nós a través da filosofía medieval identificados con catro letras (A, E, I e O):
- A – Universal afirmativa: Todo S é P (“Todos os seres humanos somos mortais”).
- E – Universal negativa: Non S é P (Todo S non é P: “Ningún ser humano é inmortal”, ou “Todos os seres humanos non somos inmortais”; outro exemplo: “Ningún peixe é mamífero”, ou “Todos os peixes non son mamíferos”)
- I – Particular afirmativa: Algún S é P (“Algúns mamíferos son acuáticos”).
- O – Particular negativa: Algún S non é P (“Algúns mamíferos non son terrestres”).
1.2.2.1. As figuras siloxísticas.
Tendo en conta a disposición dos termos nas premisas e na conclusión, poden darse catro figuras do siloxismo (na táboa a continuación). A conclusión sempre ten a forma S é P, mais segundo como se sitúe o termo medio (M) en cada unha das premisas poden darse as seguintes combinacións:
|
FIGURAS |
Primeira O termo medio é suxeito na premisa maior e predicado na premisa menor. |
Segunda O termo medio é predicado en ambas premisas |
Terceira O termo medio é suxeito en ambas premisas |
Cuarta O termo medio é predicado na premisa maior e suxeito na premisa menor |
|
PREMISA 1 |
M P Todos os humanos son mortais (A) |
P M Ningún peixe é mamífero (E) |
M P Algúns mamíferos son animais acuáticos (I) |
P M Ningún peixe é mamífero (E) |
|
PREMISA 2 |
S M (Todo) Sócrates é humano (A) |
S M Todo humano é mamífero (A) |
M S Todos os mamíferos maman (A) |
M S Algúns mamíferos son animais acuáticos (I) |
|
CONCLU-SIÓN |
S P (Todo) Sócrates é mortal (A) |
S P Ningún humano é peixe (E) |
S P Algúns animais acuáticos maman (I) |
S P Algúns animais acuáticos non son peixes (O) |
1.2.2.2. Os modos siloxísticos.
Os modos siloxísticos son as diferentes combinacións válidas que se poden facer cos xuízos ou proposicións que forman as premisas e a conclusión. Como estes son de 4 tipos diferentes (A, E, I e O), hai 64 combinacións posibles, das que só 19 son modos siloxísticos válidos (nos que a conclusión segue necesariamente das premisas). Para lembrar estes modos, a lóxica medieval asigna a cada un un nome no que as vogais do mesmo coinciden coas clases de xuízos ou proposicións (A, E, I e O) que aparecen como premisas e conclusión:
a) primeira figura: BARBARA, FERIO, CELARENT, DARII;
b) segunda figura: CESARE, BAROCO, CAMESTRES, FESTINO;
c) terceira figura: DARAPTI, DISAMIS, DATISI, FELAPTON, BOCARDO, FERISON;
d) cuarta figura: BAMALIP, CAMENES, DIMARIS, FESAPO, FRESISON.
II
A lóxica moderna
Na segunda metade do século XIX, o matemático alemán Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848 – 1925) inventou a lóxica moderna, que hoxe chamamos “lóxica matemática”.
2.1. Delimitación da lóxica simbólica moderna ou lóxica matemática.
A principal característica da lóxica matemática é que o razoamento ten que ser traducido a unha linguaxe formal, a linguaxe simbólica da lóxica, inspirada na linguaxe alxébrica (a linguaxe formal máis importante da historia das matemáticas e, case por extensión, tamén a máis importante da historia en xeral). Esta linguaxe formal da lóxica fixo posible un desenvolvemento extraordinario desta nova disciplina nos últimos 150 anos. Hoxe en día, a maior relevancia da lóxica matemática débese ao feito de que os ordenadores “falan” (procesan información) utilizando a linguaxe formal da lóxica matemática moderna (a linguaxe binaria de uns e ceros: 1 – 0).
A siloxística aristotélica, pola súa banda, usa unha linguaxe semiformalizada. Moi dife-rentemente, a lóxica moderna está totalmente formalizada, o que quere dicir que non utiliza en nin-gún momento a linguaxe natural (a lingua común que utiliza o ser humano para comunicarse4), se-nón sempre unha linguaxe artificial, a linguaxe formal da lóxica. Polo tanto, vai resultar fundamen-tal coñecer cales son os símbolos empregados pola lóxica moderna.
Hai que aclarar que o que se vai tratar a continuación é só unha parte da lóxica moderna, denominada lóxica proposicional, mais esta disciplina divídese en moitas ramas (cada vez máis) que non se van tratar nestas páxinas. Dous exemplos destacables poden ser a lóxica de clases ou conxuntos e a lóxica de predicados.
2.2. Simboloxía da lóxica simbólica moderna ou lóxica matemática.
Hai que distinguir dous elementos básicos na linguaxe da lóxica simbólica moderna: variables proposicionais e conectores ou operadores lóxicos. O primeiro consiste na asignación de letras do abecedario a partir da p ás diferentes proposicións, como nos seguintes exemplos: “Está chovendo” = p, “Fai calor” = q, “Bruno está na clase” = r, “Vese o mar” = s, e así sucesivamente. Un conector lóxico, como se pode inferir polo seu nome, ten a función de conectar ou relacionar diferentes variables proposicionais. Segundo a maneira na que se realice dita unión ou conexión, podemos atopar os seguintes conectores lóxicos:
a) Negador (negación): representado co símbolo ¬ , colócase diante dunha variable proposicional: ¬p . Lese “non p”, “non é o caso que p”, “p é falso”, etc.; “Bruno non está na clase” sería ¬r (seguindo o exemplo do parágrafo anterior). Pode colocarse diante de calquera fórmula lóxica, como por exemplo: ¬(p→q) .
b) Conxuntor (conxunción): representado co símbolo ˄ , colócase entre dúas variables proposicionais: p˄q . Lese “p e q”; “Está chovendo e fai calor” sería p˄q (seguindo o exemplo do parágrafo principal desta sección). Pode colocarse entre dúas fórmulas lóxicas calquera: ¬(p˄q) ˄ ¬r (isto lese “non é o caso de que se dea p e q, e non r”, ou “nin p e q nin r”).
c) Disxuntor (disxunción): hai dous tipos básicos.
Disxunción exclusiva: representada co símbolo ¥ , colócase entre dúas varia-bles proposicionais ou dúas fómulas lóxicas calquera: p¥q . Lese “ou p ou q (pero non ambos)”; “Ou vas a clase ou quedas na casa” sería un exemplo de disxunción exclusiva. Este conector nunca se emprega, unha vez asimiladas as bases da linguaxe simbólica da lóxica compréndese porque isto é así.
Disxunción inclusiva: representada co símbolo ˅ , colócase entre dúas variables proposicionais: p˄q . Lese “p ou q (ou ambos)”, ou simplemente “p ou q” (xa que, como dixemos, a disxunción exclusiva nunca se emprega); “Ou vou a clase ou fago os exercicios (ou ambas)” sería un exemplo de disxunción inclusiva. Pode colocarse entre dúas fórmulas lóxicas calquera: (p˄q) ˅ (r˄s) (isto lese “ou p e q , ou r e s (ou p e q , e r e s)”).
d) Implicador (implicación) ou condicional: representado co símbolo → , colócase entre dúas variables proposicionais: p→q . Lese “se p, logo/entón q”, “p implica q” ou “p é condición suficiente de q” (isto tamén se pode formular coma: “só se q, logo p”; “q é condición necesaria de p”) ; “Se non está chovendo fai calor” sería ¬p→q (seguindo o exemplo do parágrafo principal desta sección). Neste exemplo pode non verse moi claro porque a experiencia dinos que pode non ser necesariamente así (xa que pode chover e facer calor, ou non chover e facer frío), pero en casos coma “se chove, o chan móllase” vese claramente esta relación de necesidade: sendo p = “chove” e q = “o chan móllase”, podemos establecer que p→q . Tamén pode colocarse entre dúas fórmulas lóxicas calquera: (p˄q) → ¬r (isto lese “se se dá o caso de que p e q, entón non r”).
e) Coimplicador (dobre implicación) ou bicondicional: representado co símbolo ↔ , co-lócase entre dúas variables proposicionais: p↔q . Lese “se e só se p, logo/entón q”, “se e só se q, logo/entón p”, “p equivale a q” (isto tamén se pode formular coma: “p é igual a q”; “p unicamente se q”; “p é condición suficiente e necesaria de q”; “q é condición suficiente e necesaria de p”); “Se non está chovendo fai calor” sería ¬p→q (seguindo o exemplo do parágrafo principal desta sección). O dobre implicador non é máis que unha implicación en dúas direccións (é dicir, dous condicionais que se conectan mediante unha conxunción): (p→q) ˄ (q→p) = p↔q .
2.3. Táboas de verdade.
Dende unha perspectiva lóxica, o único que nos interesa saber dunha proposición é que pode ser verdadeira ou falsa, non o que realmente significa. Hai que reparar no verbo en cursiva: a lóxica simplemente se ocupa de determinar que dunha proposición se diga que pode ser ser verdadeira ou falsa, a determinación de se é verdadeira ou falsa corresponde ó coñecemento empírico, ao noso coñecemento do mundo. Por exemplo, “Bruno está en clase” é unha proposición p na que a lóxica nos di que sempre pode ser verdadeira ou falsa (pois Bruno pode efectivamente estar na clase ou non), e na que a nosa experiencia directa de se Bruno está ou non na clase neste momento nos di se é verdadeira ou falsa (se estamos lendo estas liñas na clase de filosofía será unha proposición verdadeira, pero se as lemos na casa ou no recreo será unha proposición falsa).
As táboas de verdade axudan a coñecer todo o que dende o punto de vista lóxico quere-mos saber sobre os conectores lóxicos e sobre calquera fórmula lóxica. Nelas, a verdade pódese simbolizar cunha V ou cun 1, e a falsidade cunha F ou cun 0.
2.3.1. Funcións das táboas de verdade.
En base ó parágrafo anterior, podemos achar dúas funcións básicas das táboas de verdade:
(1) determinar o contido semántico dos conectores lóxicos (é dicir, o seu significado puramente lóxico);
(2) coñecer o valor de verdade de calquera fórmula lóxica.
Unha fórmula lóxica refire a calquera expresión que use símbolos lóxicos e estea ben construída. Estas expresións lóxicas ben construídas chámanse fórmulas lóxicas ben formadas (a partir de agora, FBF). Por exemplo, p ou ¬p son FBF, pero se escribísemos “p¬” non estariamos construíndo unha FBF.
2.3.2. Confección de táboas de verdade.
Dependendo do número de variables preposicionais, o número de filas e columnas da táboa de verdade variará. Se só hai unha, a táboa de verdade só representará dous valores lóxicos. Ocorre deste xeito porque unha proposición, tomada illadamente (como é o caso de p), só pode ter dous valores de verdade: verdadeira (V, 1) ou falsa (F, 0). Por exemplo, a táboa de verdade dunha proposición calquera (p) pode representarse do seguinte xeito:
p ou p
V 1
F 0
Se hai dúas variables proposicionais (p, q), hai que combinar os valores de verdadeiro e falso de ambas variables. Hai, logo, catro combinacións posibles:
p q
1 1
1 0
0 1
0 0
Se hai tres ou máis variables proposicionais, a táboa de verdade constrúese establecendo todas as combinacións posibles dos valores de verdade destas variables proposicionais, segundo a fórmula 2n (dous valores de verdade posibles, verdadeiro e falso, elevados a n, o número de variables proposicionais coas que se traballe). E así, se hai tres variables proposicionais (p, q, r), haberá oito combinacións posibles de valores de verdade (23=8), se houbese 4 variables serían 16 combinacións (24=16), e así sucesivamente.
p q r
1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 0 0
0 1 1
0 1 0
0 0 1
0 0 0
2.3.3. Definición do significado lóxico dos conectores mediante táboas de verdade.
A continuación compróbase como mediante as táboas de verdade podemos ver o contido semántico de cada un dos conectores antes tratados.
2.3.3.1. Negación.
No caso da negación, dinos que non é o caso que p :
p ¬p
1 0
0 1
Así, o negador significa que se unha proposición é verdadeira, entón a súa negación é falsa, e se unha proposición é falsa, entón a súa negación é verdadeira.
2.3.3.2. Conxunción.
No caso da conxunción, dinos que ocorren p e q :
p q p˄q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Para que a conxunción sexa verdadeira, ambas variables que a compoñen deben ser verdadeiras. Se unha ou as dúas son falsas, a conxunción será falsa.
2.3.3.3. Disxunción.
No caso da disxunción exclusiva, dinos que ocorren p ou q, pero non ambas a un tempo:
p q p¥q
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Para que a disxunción exclusiva sexa verdadeira, ambas variables que a compoñen deben ser diferentes. Se as dúas son verdadeiras ou as dúas son falsas, a disxunción será falsa.
No caso da disxunción inclusiva, dinos que ocorren p ou q, ou ambas a un tempo:
p q p˅q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Para que a disxunción inclusiva sexa verdadeira, polo menos unha das variables que a compoñen deben ser verdadeira. Se as dúas son falsas, a disxunción será falsa.
2.3.3.4. Implicación.
No caso da implicación, dinos que se p, entón q :
p q p→q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Neste caso, a explicación resulta máis complexa, xa que as variables non podemos consideralas sinxelamente termos (tal e como se denominan nos caso anteriores e no seguinte, o do bicondicional). Os símbolos ˄ , ˅ e ↔ teñen a propiedade conmutativa, é dicir, neles non é importante a orde das variables proposicionais (non hai diferenza entre escribir p˄q e q˄p, nin entre p˅q e q˅p, nin entre p↔q e q↔p ), xa que os seus dous termos son intercambiables.
O anterior non ocorre co implicador ou condicional (→). Aquí, as variables proposicio-nais non se poden intercambiar xa que o implicador non ten a propiedade conmutativa. Polo tanto, non falaremos dos termos da implicación, senón do antecedente e do consecuente da implicación. En p→q, “p” é o antecedente e “q” o seu consecuente. Se se dá o antecedente p, entón debe darse necesariamente o consecuente q. Por iso q se chama “consecuente”: é unha consecuencia necesa-ria de p, a consecuencia que ten que producirse necesariamente se se produce p, se p ocorre previa-mente (a palabra “previamente”, tal e como se emprega aquí, igual que “antecedente”, é nun sentido lóxico, non temporal). Por exemplo:
- “se este é un triángulo (p), entón é un polígono (q)”: o feito de que este sexa un triángulo implica necesariamente que é un polígono, xa que unha das consecuencias inevitables da triangularidade é a poligonalidade (é imposible para que sexa dada a primeira, a triangularidade, e non a segunda, a poligonalidade; neste exemplo vese con total claridade que este antecedente de p con respecto a q é unha precedencia lóxica, non temporal).
- “Se chove, entón o chan móllase”: este exemplo é un feito, un fenómeno físico da vida real. Establece que a relación que existe entre chover e estar o chan mollado é unha relación de cau-salidade (a chuvia é a que provoca que o chan se molle). Traducindo esa relación causal e temporal (xa que, no mundo físico, a causa sempre ocorre no tempo antes do efecto) a termos lóxicos, non nos queda máis remedio que facer uso do implicador (a implicación é a relación lóxica máis parecida á causalidade, á produción dun efecto pola súa causa).
Entre o antecedente e o consecuente existe unha conexión, e non só unha coincidencia, como ocorre cando p e q están unidos por todos os demais operadores lóxicos: p^ q, por exemplo, significa que p e q ocorren ao mesmo tempo, e non que p e q están conectados ata o punto de que se ocorre p, q debe ocorrer necesariamente.
A conexión que se dá no implicador ou condicional vén dada polo seu nome, en tanto que o antecedente é unha condición suficiente do consecuente, e o consecuente unha condición necesaria do antecedente: p é unha condición suficiente de q e q é unha condición necesaria de p.
Traducido ó primeiro dos dous exemplos anteriores, poderiamos preguntarnos que significa que a triangularidade (p) sexa unha condición suficiente para a poligonalidade (q): quere dicir que abonda con que p, o antecedente, se dea para que q, o consecuente, necesariamente teña que darse (a triangularidade é unha condición suficiente para a poligonalidade xa que basta con que algo sexa un triángulo para que teña que ser un polígono). É dicir, se a relación lóxica está ben establecida, se p é verdadeira (1), entón q tamén terá que ser verdadeira (1). Polo tanto, na táboa do condicional, o resultado só é falso (0) cando a operación de implicación se aplica á combinación de valores de p e q, 1 0 (porque é o único caso no que a relación lóxica está mal establecida, no que o consecuente non se segue necesariamente do antecedente).
Se nos preguntamos o que significa que a poligonalidade (q) é unha condición necesa-ria para a triangularidade (p), veremos que é necesario que se dea q, o consecuente, para que se poida dar p, o antecedente (a poligonalidade é unha condición necesaria da triangularidade xa que se algo non é un polígono é imposible que sexa un triángulo). O consecuente é, polo tanto, un factor que se ten que dar (xunto con outros factores) para que se ocorra ou sexa algo: seguindo o exemplo, a poligonalidade (figura plana formada por lados rectos pechados), é un factor que se ten que dar para que algo sexa un triángulo (figura plana formada por tres lados rectos pechados); neste caso o outro factor que ten que darse é que o número de lados sexan tres. No outro exemplo, que o chan estea mollado é unha condición necesaria para dicir que choveu (pois se chove o chan necesaria-mente móllase), pero necesitamos outros factores (que neste caso poderíamos simplificalos no feito de ver caer auga dende as nubes) para poder dicir que está mollado por iso e non por calquera outra causa (como que alguén deixou unha billa aberta, por exemplo).
Isto leva a dicir que o antecedente p (triangularidade) non é condición necesaria do con-secuente q (poligonalidade), o que quere dicir que non é necesario que se produza p para que se pro-duza q: q pode ser verdadeiro (1), q pode ocorrer, aínda que p sexa falso (0), aínda que p non se produza (algo pode ser un polígono, por exemplo un cadrado, aínda que non sexa un triángulo). É por iso que, na táboa de verdade do implicador, a combinación de valores de p=0 e q=1 dá como resultado un 1 (valor de verdade): aínda que non se produza p, pode ocorrer q. No outro exemplo, que o chan estea mollado pode deberse a moitas causas diferentes á chuvia, como vimos no parágra-fo anterior.
De xeito análogo, o consecuente q (poligonalidade) non é condición suficiente do ante-cedente p (triangularidade), o que significa o que nomeamos xa antes: non abonda con que se dea q, poligonalidade por exemplo, para que se dea necesariamente p, triangularidade (cómpre que tamén se dean outros factores, como, por exemplo, que o número de lados sexa tres). De igual maneira, non é suficiente comprobar que o chan está mollado para poder afirmar que tamén chove. Nunha implicación, na súa táboa de verdade, pode darse o caso de que se dea q e non se dea p, sendo a verdadeira implicación: a combinación 0 1 dá como resultado un 1, a verdade.
Finalmente, pode resultar quizais difícil de comprender o feito de que o resultado da combinación na que p=0 e q=0 (ambos con valor de falsidade) sexa 1 (valor de verdade). Se p e q son condicións entre si no sentido que acabamos de explicar anteriormente, entón pódese establecer entre eles unha relación de implicación ben establecida e verdadeira, aínda que non se dean nin p nin q. É dicir, aínda que p e q sexan falsos (0), o resultado da implicación ben establecida é 1, a verdade: o feito de que un círculo non sexa nin un triángulo nin un polígono non significa que a implicación “se isto é un triángulo, entón é un polígono” non estea ben establecida; o feito de que non chova nin o chan estea mollado neste momento non significa que a conexión causal entre chover e ver o chan mollado non sexa correcta. Esta operación de implicación entre os valores de verdade 0 0 que da como resultado 1 permite establecer o que se denominan “hipóteses contra-fácticas”: imaxinar o que probablemente ocorrería se ocorresen certos acontecementos. Por exem-plo, pódese postular o que probablemente tería acontecido se Hitler nunca se adicase á política: “Se Hitler nunca fose coñecido máis alá do seu círculo íntimo, entón (probablemente) non tería ocorrido a Segunda Guerra Mundial”.
2.3.3.5. Coimplicación.
No caso da implicación, dinos que se e só se p, entón q :
p q p↔q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A relación de equivalencia, coimplicación ou bicondicionalidade é unha implicación en ambas direccións: (p→q)˄(q→p). Por este motivo, este operador denomínase “bi-condicional” ou “co-implicador”. Pois ben, dado que aquí a implicación vai en ambas direccións, podemos dicir que na expresión p↔q, p é unha condición suficiente e necesaria de q (é dicir, non só unha condición suficiente de q, senón tamén unha condición necesaria de q) e q é unha condición necesaria e suficiente de p (é dicir, non só unha condición necesaria de p, senón tamén unha condición suficiente de p). Por iso esta relación se expresa como “se e só se x, logo/entón y” (no exemplo anterior sería: só e só se un polígono ten tres lados, entón é un triángulo).
Dende unha perspectiva lóxica, o feito de que exista unha relación de coimplicación entre dúas cousas significa que estas dúas cousas son iguais, son equivalentes. Así, ser un triángulo é o mesmo que ser un polígono de tres lados (as definicións son coimplicacións). Desde unha perspectiva fáctica (física e causal), non obstante, o feito de que se estableza unha relación de coim-plicación entre dous feitos físicos significa que algo, p, non só é a causa doutra cousa, q, senón que algo p é a única causa posible de esa outra cousa q, que é o seu efecto (un feito ou efecto q que só pode darse no mundo se foi producido polo feito ou causa p). Por exemplo, que a composición química dunha molécula sexa a de dous átomos de hidróxeno por cada osíxeno (H2O) é a única razón pola que unha substancia pode ser auga (e non as súas supostas propiedades: ser incolora, inodora, insípida, etc.): “se e só se os constituíntes atómicos desta substancia son dous átomos de hidróxeno para un átomo de osíxeno, entón esta substancia é auga”. Neste sentido, poderiamos dicir que coñecemos a causa última da auga, a súa esencia.
Finalmente, aclarar que a táboa de verdade da negación do coimplicador ¬(p↔q) é a mesma que a da disxunción exclusiva p¥q. É por iso que, por razóns de economía, non se utiliza o conector de disxunción exclusiva: cando aparece unha disxunción exclusiva simbolízase como a negación dunha coimplicación.
p q p¥q p↔q ¬(p↔q)
1 1 0 1 0
1 0 1 0 1
0 1 1 0 1
0 0 0 1 0
2.3.4. Os estatutos lóxicos.
As táboas de verdade, como xa foi mencionado, non só serven para achar o contido semántico dos conectores lóxicos, senón tamén para coñecer o valor de verdade de calquera fórmula lóxica. Por exemplo, se aplicamos unha táboa de verdade a cada un dos elementos da fórmula válida (FBF) ¬(¬p^¬q) :
p q ¬p ¬q p^q ¬(¬p^¬q)
1 1 0 0 0 1
1 0 0 1 0 1
0 1 1 0 0 1
0 0 1 1 1 0
Neste caso, hai tres valores verdadeiros (1) e un falso (0) para esta FBF. Sabendo isto, vemos que podemos obter tres tipos de resultado ó aplicar táboas de verdade ás FBF:
- que o resultado (de todas as combinacións de valores de verdade das variables) sexa sempre verdadeiro (1), sendo logo unha tautoloxía;
- que o resultado (...) sexa sempre falso (0), sendo logo unha contradición;
- que o resultado (...) sexa a verdade e a falsidade (1 e 0), sendo logo unha consistencia.
2.3.4.1. Tautoloxía.
Amósase como exemplo a táboa de verdade da seguinte FBF (chamada modus tollens):[(p→q) ^ ¬q] → ¬p
p q p→q ¬q [(p→q) ^ ¬q] ¬p [(p→q)^¬q] → ¬p
1 1 1 0 0 0 1
1 0 0 1 0 0 1
0 1 1 0 0 1 1
0 0 1 1 1 1 1
Como podemos ver, a táboa de verdade desta fórmula sempre desemboca na verdade como resultado, sexan cales sexan as combinacións de valores de verdade das variables proposicio-nais: calquera que sexa o valor de verdade de p e q (mesmo cando son falsos), o que afirma esta fór-mula afirma é sempre verdade. Estas son as fórmulas tautolóxicas, ou tautoloxías (por iso dicimos que o status lóxico deste tipo de fórmulas é a tautoloxía), que se definen como aquelas fórmulas certas por razóns puramente lóxicas. A tradición occidental tamén chama ás tautoloxías xuízos analíticos. Na linguaxe cotiá, as tautoloxías son as asercións máis obvias e evidentes, como por exemplo “hoxe amenceu porque é de día” ou “ou chove ou non chove”.
Tamén son tautoloxías as leis lóxicas (como a do modus tollens que se mostra arriba) e os principios lóxicos, establecidos e estudados principalmente por Aristóteles, que fundamentan a propia lóxica. Estes explícanse a continuación.
O principio de identidade establece que todo é igual ou idéntico a si mesmo: “A é A”, ou “unha rosa é unha rosa”. En termos formais: (p→p) ou (p↔p) .
O principio de non contradición serve para eliminar a posibilidade de que algo sexa unha contradición, que en esencia é a afirmación dun imposible, algo que nunca pode ocorrer (unha contradición é unha fórmula que sempre é falsa): afirmando e negando ao mesmo tempo o mesmo. Por exemplo, afirmando que “unha rosa ten espiñas e non ten espiñas”. En termos formais: (p^¬p) . O principio de non contradición establece que “non é posible que A sexa á vez B e non B”; en termos formais ¬(p^¬p). Ou o que é o mesmo, establece que o contraditorio é sempre falso (e polo tanto, a súa negación é sempre verdadeira), que o contraditorio é imposible. Unha das principais regras do pensamento extráese do principio de non contradición: está prohibido contradicirse a un mesmo, pois corremos o risco de que todo o que dicimos ou argumentamos sexa invalidado por sospeita de falsidade (se un discurso ou argumento contén algunha contradición, aínda que só sexa unha, cancelarase automaticamente).
O principio do terzo excluído parte da base de que o pensamento humano é binario (de aí que se estableza que só hai dous valores de verdade, verdade e falsidade, 1 e 0) e establece: (1) que toda proposición ten que ser verdadeira ou falsa e non hai un terceiro valor de verdade posible (como “nin verdadeiro nin falso”) e (2) que toda proposición ten que ser verdadeira ou falsa, pero non ambas ó mesmo tempo (tal e como establece unha disxunción exclusiva). Formalízase tal que (p¥¬p) ou, mellor, ¬(p↔¬p) .
2.3.4.2. Contradición.
Ilústrase a continuación a forma dunha contradición calculando a táboa de verdade da seguinte fórmula: (p^q) ^ ¬(p˅q)
p q p^q p˅q ¬(p˅q) (p^q) ^ ¬(p˅q)
1 1 1 1 0 0
1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 0 0
Esta fórmula é sempre falsa (0) por razóns puramente lóxicas. Como xa se dixo, unha contradición é unha proposición que alberga no seu interior a afirmación e a negación da mesma cousa ao mesmo tempo, polo que non ten sentido de seu.
2.3.4.3. Consistencia.
Para ilustrar este caso, pasemos a calcular o valor de verdade dunha fórmula lóxica moi parecida ó modus tollens, mais non igual: [(p→q) ^ ¬p] → ¬q
p q p→q ¬p (p→q) ^ ¬p ¬q [(p→q) ^ ¬p] → ¬q
1 1 1 0 0 0 1
1 0 0 0 0 1 1
0 1 1 1 1 0 0
0 0 1 1 1 1 1
O valor de verdade da fórmula é tres veces verdadeiro (1) e unha vez falso (0), e por iso denominámola consistente. Isto quere dicir que cumpre o “mínimo común requisito lóxico” que se esixe a todas as proposicións: non ser contraditorias (unha fórmula consistente é aquela que demos-tra polo menos non ser contraditoria). Non obstante, como dende un punto de vista lóxico as propo-sicións consistentes poden ser tanto verdadeiras como falsas, a única maneira de determinar a súa verdade ou falsidade é recorrer á experiencia (non existen procedementos lóxicos para determinar a súa verdade, só empíricos), tal e como se especificou unhas páxinas más atrás.
O exemplo arquetípico dunha proposición consistente (unha FBF consistente) é o que se mostraba ó inicio desta sección, a proposición p , cuxa táboa de verdade é a seguinte:
p
1
0
“p” pode ser tanto verdadeira como falsa, é dicir, o estatuto lóxico de p é que é unha fórmula consistente. Só por razóns empíricas sabemos que é verdade ou falso (as proposicións "está chovendo agora” ou “Bruno está na clase” son verdadeiras cando realmente esas situacións se dan no mundo real, e falsas cando non).
2.4. Deducións naturais.
As regras lóxicas son esquemas dun razoamento válido, dunha inferencia correcta (unha tautoloxía, en definitiva). Un razoamento ou inferencia, pola súa banda, defínese coma un proceso en virtude do cal se extraen de fórmulas lóxicas dadas (premisas da inferencia) unha nova fórmula lóxica (a conclusión do razoamento). Por exemplo, se é certo que todos os humanos somos mortais e que Sócrates é un ser humano (premisas), tamén o é que Sócrates é mortal (conclusión).
Para escribir as regras lóxicas empréganse metavariables. Se as variables proposicio-nais (p, q, r, etc.) simbolizan calquera proposición (por exemplo, “Sócrates é mortal”), as metava-riables (representadas con maiúsculas do alfabeto desde A en diante: A, B, C, D, etc.) simbolizan calquera fórmula lóxica (calquera FBF), dende a máis simple (como p) ata a máis complexa (como [(p→q) ^ ¬q] → ¬p ).
As regras lóxicas serven para facer o que denominamos deducións naturais, ou “cálcu-lo de dedución natural”, que se entende así (“natural”) porque nestes cálculos, aínda que empregan-do unha linguaxe formalizada, razoamos, deducimos consecuencias do mesmo xeito que, de forma natural e espontánea, o facemos na nosa vida diaria. Consisten na demostración, a partir de certas premisas, dunha conclusión (aplicando as regras da lóxica a ditas premisas). Hai dar unha serie de pasos que se van numerando e en cada un deles indícase que norma se aplica e en que premisas ou pasos se aplica.
2.4.1. Forma das regras lóxicas.
Poñamos como exemplo ilustrativo o modus tollens:
A→B
¬B
¬A
Como podemos ver, en calquera regra lóxica hai varias fórmulas lóxicas (FBF) escritas unha debaixo da outra. A fórmula que aparece na parte inferior (¬A) é a conclusión da regra. Por riba da conclusión, hai unha liña: as fórmulas que aparecen enriba dela son as premisas da regra.
Ademais, cada regra lóxica pódese expresar como unha fórmula, en tanto que toda regra lóxica non é máis que unha lei lóxica expresada en forma de regra. Así, cando as leis lóxicas se presentan en forma de regras, serven para poder razoar: para poder sacar conclusións a partir de premisas dadas.
A˅B [(p˅q) ^ ¬q] → p (lei lóxica)
¬B (regra lóxica)
A
2.4.2. Principais regras lóxicas.
Deberán consultarse na folla anexa a estes apuntamentos (fonte: Rodeira, Filosofía 1º de Bacharelato). Aclarar que a regra do dilema tamén pode chamarse regra de eliminación do dis-xuntor (xa que é o que fai), ou RED, en forma abreviada. Sobre o modus ponens e o modus tollens, aclarar que aínda que son das regras lóxicas máis importantes e utilizadas para razoar, é moi doado cometer unha falacia (argumento que ten aparencia de ser correcto ou válido, pero que en realidade non o é porque a conclusión non se pode sacar loxicamente das premisas) ó empregalas: a afirmación do consecuente e a negación do antecedente, respectivamente.
A→B A→B
B Afirmación do consecuente ¬A Negación do antecedente
A ¬B
4Calquera lingua (galego, castelán, ruso, chinés, inglés, etc.) é un exemplo de linguaxe natural.
ANEXO
Principais regras lóxicas
No hay comentarios:
Publicar un comentario