!HOLA A TODO EL MUNDO!
Perdonad que ayer no estuviesen subidos los vídeos de lógica a la hora de clase (a la 9:00 horas).
El "trénico" los subió a las 10. Así que si alguno de vosotros estuvo trabajando la asignatura a esa hora (que es como debe ser), no le va a quedar más remedio que visionar los tres vídeos de ayer ahora. Mil disculpas!
Para hoy, tenemos vídeos donde comenzamos a explicar los operadores lógicos.
VÍDEOS DE LÓGICA
- NEGADOR
- CONJUNTOR
- DISYUNTOR
APUNTES DE CLASE
Hoy terminamos con los métodos de la ciencia. La lectura final es sólo para que le echéis un vistazo por encima. Si estuviésemos más adelantados en cálculo lógico, nos sería más fácil llegar a entenderla.
OTROS MÉTODOS CIENTÍFICOS/MÉTODO INDUCTIVO
Y DEDUCTIVO
B)
El método deductivo
También aquí
(como ocurría con la inducción), la deducción es, en un primer momento, un
procedimiento lógico.
¿Qué tipo de
procedimiento lógico?
En la deducción
inferimos de unas proposiciones generales, juicios particulares que están
incluidos dentro de ellas (de que “todos los hombres son mortales”, infiero que
“Sócrates es mortal”). En esto consiste la deducción lógica: sacar la verdad
particular de una proposición general en la que está implícitamente contenida.
Pero hay otra
forma de entender la deducción que podemos llamar “sintética” (o
“constructiva”), que ha sido utilizada desde siempre (desde los antiguos
griegos) por los matemáticos (y también hoy en día por los lógicos, por la
lógica-matemática). Consiste en construir conocimientos complejos a partir de
otros simples.
Ejemplos:
1º De la noción
de línea, deduzco (construyo) la noción de triángulo.
2º De la noción
de triángulo, deduzco (construyo) que la suma de sus ángulos internos es 180
grados (esta construcción/deducción la conocemos con el nombre de demostración
del Teorema de Pitágoras).
Pues bien, este
uso constructivo de la deducción es el que ha sido utilizado en las ciencias
formales (en las matemáticas y en la lógica moderna) y también en las ciencias
empíricas más matematizadas, sobre todo en la física (los físicos descubren
nuevas leyes o las prueban deduciéndolas matemáticamente a partir de
leyes anteriores ya probadas).
¿Qué es el
método deductivo?
El hacer uso de
la deducción (pero sólo en su uso constructivo) para obtener conocimiento.
¿Qué ciencias
hacen uso del método deductivo?
La matemática y
la lógica moderna.
También las
ciencias empíricas hacen uso del método deductivo cuando tienen oportunidad de
ello. Por ejemplo, el físico belga Lemaitre y el físico ruso-americano Gamov,
dedujeron matemáticamente la expansión del universo a partir del sistema de
ecuaciones de la teoría de la relatividad general de Einstein.
Sin embargo, el
método deductivo sólo puede ser utilizado dentro de unos estrechos límites.
¿Por qué?
Porque sólo
sirve para construir sistemas teóricos perfectamente coherentes pero que son
meramente formales. Estos sistemas teóricos reciben el nombre de sistemas
axiomáticos (un ejemplo de sistema axiomático es la aritmética básica, o la
lógica de enunciados).
¿Qué significa
que son formales?
Que tratan del
puro pensamiento (son construcciones del pensamiento puro, de la imaginación
matemática) pero que no nos llevan por sí mismos al conocimiento de la
realidad.
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LECTURA (esto no hay que pasarlo a la libreta)
En el enlace que
acabo de indicaros hay un claro ejemplo de sistema axiomático (es decir, de
sistema científico teórico construido haciendo uso exclusivo del método
deductivo).
Sistema axiomático formal
A.
¿Qué es un Sistema Axiomático Formal?
La lógica se organiza, o puede ordenarse, como un sistema axiomático formal (SAF). Un SAF tiene la siguiente estructura:
La lógica se organiza, o puede ordenarse, como un sistema axiomático formal (SAF). Un SAF tiene la siguiente estructura:
1. Parte morfológica de un SAF:
1.1 Componentes primitivos, e. d., signos que carecen de todo contenido material, de todo significado semántico. Son los “átomos” del lenguaje formal. Ejemplo: p, q, r, s, etc. Estos componentes son las variables de nuestro lenguaje lógico. Sea p cualquier proposición, puede valer en una lógica bivalente 1 (verdad) ó 0 (falsedad).
1.2 Operadores. Un montón de signos aislados no constituyen un lenguaje lógicamente articulado. Tienen que poder enlazarse, relacionarse, componerse entre sí, mediante operaciones, que conectan (conectores o conectivas) unos signos con otros. Su número puede ser variable. En nuestra lógica bivalente, podríamos jugar con 16 conectores distintos, aunque suelen usarse menos.
Dentro de los operadores podemos distinguir entre operadores primitivos y derivados. La elección de unos y otros es arbitraria. P. ej., si elegimos como primitivos el negador (¬) y el conjuntor (&), entonces el disyuntor (v) y el condicionador (->) resultan derivados. En lógica proposicional, el número mínimo de operadores primitivos es uno. (toda el SAF de la lógica de proposiciones puede construirse utilizando como operador primitivo el de Sheffer /) aunque el uso de un solo operador primitivo hace muy engorrosas las expresiones proposicionales, por lo que suelen utilizarse como mínimo tres: negador, conjuntor y disyuntor inclusivo.
1. 3 Reglas de formación. Nos indican como a partir de los componentes primitivos se pueden engendrar nuevos componentes, o componentes derivados del lenguaje formal. Al conjunto de las reglas de formación le llamamos sintaxis del lenguaje formal. Una regla de formación del SAF de la lógica de proposiciones sería, por ejemplo, la siguiente regla de sustitución: “Cualquier proposición atómica o molecular puede ser sustituida por otra proposición cualquiera –ya atómica, ya molecular-, dando lugar a una nueva proposición":
(p & q) -> q => [p & (s v t)] -> s v t
La implicación anterior no es más que una aplicación de la regla, en la que se ha sustituido la fórmula atómica “q” por la fórmula molecular “s v t”.
2. Parte axiomática de un SAF:
2.1 Un conjunto de axiomas. En sus Segundos Analíticos, Aristóteles llama “axiomas” a las proposiciones indemostrables, evidentes en sí mismas (inmediatamente verdaderas) que sirven de principios a los teoremas (verdades deducidas o mediatas) de una teoría científica. Hoy se entiende por “axioma”, más simplemente, una fórmula del sistema convencionalmente elegida como postulado. "Postulado" viene del latín postulare, pedir, porque le "pedimos" al interlocutor que acepte convencionalmente su verdad.
Estos son los cuatro axiomas que aparecen en “Principia matemática”, la axiomatización llevada a cabo por Bertrand Russell y Alfred North Whitehead en 1910
A1: (p v p) -> p
A2: p -> (p v q) (regla de introducción de la disyunción)
A3: (p v q) -> (q v p) (según la propiedad conmutativa de v)
A4: (p -> q) -> [(r v p) -> (r v q)]
2.2 Un conjunto de definiciones que tienen por objeto establecer el significado de los operadores derivados:
Df 1: p -> q = df ¬ p v q
Df 2: p & q = df ¬ (¬ p v ¬ q)
Df 3: p _v q = df ¬ (p -> q) v ¬ (q -> p)
Df 4: p <-> q = df (p -> q) & (q -> p)
2.3 Reglas de transformación (criterios de deducción). Se establecen lo siguientes:
D1: A1, A2, A3, A4 son tesis.
D2: Si “p” es una tesis y si “p -> q” es una tesis, entonces “q” es una tesis (o sea, el Modus Ponendo Ponens de la lógica clásica).
D3: Si una expresión lógica es una tesis y sustituimos en ella una proposición atómica por otra cualquiera, el resultado es una tesis.
D4: Si “p-> q” es una tesis y si “q -> r” es una tesis, entonces “p -> r” es una tesis. Este criterio puede ser tomado como “esquema deductivo”, e d., puede ser inferido a partir de A3, D1, D2, D3, Df1. Sin embargo, algunos tratadistas lo toman como criterio de deducción por motivos pedagógicos.
D5: Nada es tesis si no es mediante los criterios D1, D2, D3, D4.
A partir de estos axiomas, de estas definiciones y de estos criterios de deducción se pueden ir demostrando los teoremas de la lógica proposicional.
Ejemplo:
De A2, D1, D3: p -> (p v p) Teorema 1
De A1, T1, D1, D4: p -> p T2
De T2, Df1: ¬ p v p T3
De A3, D1, D3: (¬p v p) -> (p v ¬ p) T4
De T3, T4, D2: p v ¬p T5
Cada lenguaje lógico –así como cada parte de las matemáticas- tiene un sistema axiomático propio. La lógica de clases utiliza, por ejemplo, los axiomas de Huntington o los de Birkhoff y MacLane; la aritmética utiliza los axiomas de Peano; la geometría euclidiana los axiomas de Hilbert.
B. Requisitos de un Sistema Axiomático Formal
1) Independencia: Ninguno de los axiomas puede ser deducido, demostrado a partir de los demás, cada axioma debe ser independiente de los otros.
2) Consistencia: Partiendo de los axiomas no debe ser posible deducir o demostrar un teorema y su negación (A & ¬ A). Es decir, el sistema no debe suponer contradicciones.
3) Completitud: Todo enunciado bien formulado que no sea deducible de sus axiomas tiene que estar en contradicción con una tesis del sistema. Es decir: Sea L un SAF cualquiera, es decidible o completo si y sólo si, dada una fórmula f cualquiera bien formada en el lenguaje de L, hay un medio para averiguar con seguridad deductiva si f es verdadero o falso en L.
Así, por ejemplo, podemos decir que el SAF del juego de las siete y media es completo, ya que con él se puede decidir si cualquier proposición relativa a dicho juego es verdadera o falsa, por ejemplo: “El seis gana al cinco” es verdadera. “En caso de empate a siete y media, pierde la banca” es falsa.
Respecto al requisito de completitud surge unos de los más interesantes problemas de la filosofía de la lógica y de la metalógica (lógica de la lógica): las limitaciones internas de los sistemas axiomáticos formales, derivadas de su propia naturaleza.
Esta limitación fue descubierta por Kurt Gödel en 1931: “En todo sistema axiomático formal lo suficientemente rico para contener la aritmética usual existen proposiciones indecidibles desde el interior del sistema”, esto es, proposiciones de las que no se puede decidir si son verdaderas o falsas manteniéndose dentro de los límites del propio sistema. Para demostrarlas habría que salirse del sistema y formular otros axiomas, pero ello llevaría a un proceso indefinido.
Los matemáticos han especulado con la posibilidad de que algunas proposiciones aritméticas muy sencillas, de las que todavía no ha podido ser demostrada su verdad o falsedad, sean proposiciones indecibibles, es decir, proposiciones de las que, en virtud del teorema de Gödel, no se pueda llegar a decidir con una demostración si son verdaderas o falsas. Por ejemplo, “la conjetura de Golbach”: “parece que cualquier número par puede expresarse como la suma de dos números primos”:
(2 = 1 + 1; 4 = 3 + 1; 6 = 5 + 1; etc.)
¿Es esto válido para todo número par? Ningún matemático hasta ahora ha encontrado una demostración para esta conjetura.
Hoy sabemos que la lógica de enunciados es consistente pero no completa (hay proposiciones indecidibles).
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